1010! は 95657055187桁ある。この桁数の頭の9をとった5657055187は、 1 - log10 e = 0.565705518...と数字の並び方がそっくりだ。なぜだろうか?
10nの階乗の末尾の0の個数に関連して、
10nの階乗の桁数 d を考えてみよう。
例えば、n = 2 として、
102! = 100! = 93326215 4439441526 8169923885 6266700490 7159682643 8162146859 2963895217 5999932299 1560894146 3976156518 2862536979 2082722375 8251185210 9168640000 0000000000 0000000000
これは158桁ある。だから、n = 2 のとき d = 158 だ。
n を少しずつ大きくすると何が起こるだろう。
例えば n = 10 のとき d = 95657055187 となるのだが、この d の数字の並び方をよく見ると、上から2桁目以降が、
1 - log10 e = 0.565705518...
と似ていることに気付く。これは偶然だろうか。
2003年1月21日 さらなる美しいパターン: あるいは数秘術: 1から1000までの整数を全部かけ合わせると、
2568桁になる。この「2568」という桁数の568という部分は、
1 - log10 e = 0.5657055...
に近い数字の並び方だ。
1から1万までかけると35660桁になる。この「35660」という数の5660という部分も、上記の超越数に近い。
この確信は、1から10万までかけた数の桁数「456574」の56574をみるとさらに深まる。
これはスターリンの定理の系だ。
--- Number of Digits d in Factorial(10^n) --- bigint.js v0.5 beta 21-pre n = 1 : d = 7 n = 2 : d = 158 n = 3 : d = 2568 n = 4 : d = 35660 n = 5 : d = 456574 n = 6 : d = 5565709 n = 7 : d = 65657060 n = 8 : d = 756570557 n = 9 : d = 8565705523 n = 10 : d = 95657055187 n = 11 : d = 1056570551816 n = 12 : d = 11565705518104 n = 13 : d = 125657055180975 n = 14 : d = 1356570551809683 n = 15 : d = 14565705518096757 n = 16 : d = 155657055180967491 n = 17 : d = 1656570551809674827 n = 18 : d = 17565705518096748182 n = 19 : d = 185657055180967481734 n = 20 : d = 1956570551809674817246 n = 21 : d = 20565705518096748172360 n = 22 : d = 215657055180967481723501 n = 23 : d = 2256570551809674817234900 n = 24 : d = 23565705518096748172348884 n = 25 : d = 245657055180967481723488724 n = 26 : d = 2556570551809674817234887122 n = 27 : d = 26565705518096748172348871095 n = 28 : d = 275657055180967481723488710826 n = 29 : d = 2856570551809674817234887108124 n = 30 : d = 29565705518096748172348871081099 n = 31 : d = 305657055180967481723488710810850 n = 32 : d = 3156570551809674817234887108108356 n = 33 : d = 32565705518096748172348871081083412 n = 34 : d = 335657055180967481723488710810833967 n = 35 : d = 3456570551809674817234887108108339510 n = 36 : d = 35565705518096748172348871081083394937 n = 37 : d = 365657055180967481723488710810833949196 n = 38 : d = 3756570551809674817234887108108339491790 n = 39 : d = 38565705518096748172348871081083394917726 n = 40 : d = 395657055180967481723488710810833949177077 n = 41 : d = 4056570551809674817234887108108339491770582 n = 42 : d = 41565705518096748172348871081083394917705625 n = 43 : d = 425657055180967481723488710810833949177056052 n = 44 : d = 4356570551809674817234887108108339491770560322 n = 45 : d = 44565705518096748172348871081083394917705603018 n = 46 : d = 455657055180967481723488710810833949177056029966 n = 47 : d = 4656570551809674817234887108108339491770560299444 n = 48 : d = 47565705518096748172348871081083394917705602994221 n = 49 : d = 485657055180967481723488710810833949177056029941989 n = 50 : d = 4956570551809674817234887108108339491770560299419659
表の見方: 例えば、
n = 20 : d = 1956570551809674817246
というのは、1020! が 19垓5657京0551兆8096億7481万7246桁あることを意味する。
(答えが19垓ということではなく、答えが19垓個の数字からなるという意味。)
とても美しく神秘的なパターンが見える。つまり桁数の最上位には n - 1 が現れる。
n = 20 なら 19... と始まる。
そして、数字の並びは、5657055180... となるのだが、
これは、
1 - log10 e = 0.565705518096748...
と関係ある。このパターンにおいても、数字の末尾のほうは、さざ波だってキラキラと揺らいでいる。
上位桁は単なる引き算、真ん中に神秘的にも超越数の並びが現れ、末尾は不規則に揺らぐ。
数の奥深さを感じさせる。
参考資料(PDF)Shouting Factorials!, Pai in the Sky, September 2003
どうして上のようになるのだろうか。スターリンの公式から、x! の近似値は
(2πx)1/2 ( x / e )x
である。x = 10n として、この数の桁数を調べるために、10を底とする対数をとると
log10 ( (2π 10n)1/2 ( 10n / e )10n ) =
log10 ( (2π)1/2 10n/2 ( 10n / e )10n ) =
log10 ( (2π)1/2 ) + log10( 10n/2 ) + log10 ( 10n / e )10n =
log10 ( (2π)1/2 ) + n/2 + 10n( log10 ( 10n / e ) ) =
log10 ( (2π)1/2 ) + n/2 + 10n( n - log10 e ) … (*)
第一項 log10 ( (2π)1/2 ) は小さい。 第二項 n/2 は n=100 でも 50 にすぎず、これも小さい。
よって 10n! の桁数は、おおざっぱに第三項
10n( n - log10 e )
による。
すなわち、10n! の桁数は、おおざっぱに 10n × n 程度である。
より正確には、10n × ( n - log10 e ) 程度である。
少し変形すると、10n × ( ( n - 1 ) + ( 1 - log10 e ) )
( 1 - log10 e ) は 0 と 1 の間の数であるから、
スケールファクターを 10n とすると、求める桁数は、
整数部分 ( n - 1 )
小数部分 ( 1 - log10 e )
と分かった。
この数と実際の桁数とのわずかな差は、だいたいにおいて (*) の第一項と第二項による。